Разделы сайта

Вывод формулы Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с в точках x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h:

Проинтегрируем :

Формула:

называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке существуют непрерывные производные f ʹ, f ʹʹ, f ʹʹʹ, f ʹʹʹʹ.

Составим разность:

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на и функция неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция; ).

Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для другое выражение:

, где

Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона в виде:

, .

Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , , ., применяют формулу Симпсона.

Формула Симпсона в общем виде:

Перейти на страницу: 1 2

Самое читаемое:

Генерирование случайных колебаний LC-автогенератором в жестком режиме возбуждения
автогенератор транзистор колебание Современная наука и техника широко пользуются незатухающими колебаниями. Более того, само развитие радиосвязи, электроакустики, телевидения и многих других отделов новой техники стало возможным только после открытия и изучения систем, могущих генерировать незатухающие колебания за счёт источ ...