Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.
Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с
в точках x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h:
Код товара теплоноситель для отопления 65 proglycol.ru.
Проинтегрируем :
Формула:
называется формулой Симпсона.
Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью
, прямыми
,
и параболой, проходящей через точки
Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке
существуют непрерывные производные f ʹ, f ʹʹ, f ʹʹʹ, f ʹʹʹʹ.
Составим разность:
К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на
и функция
неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:
(воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция;
).
Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для
другое выражение:
, где
Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона в виде:
,
.
Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на
равных частей (полагая
), после чего к каждой паре соседних отрезков
,
, .,
применяют формулу Симпсона.
Формула Симпсона в общем виде:
Самое читаемое:
Алгоритм поиска неисправности и способ настройки и регулировки импульсного источника питания
Источниками
питания называют устройства, предназначенные для снабжения электронной
аппаратуры электрической энергией и представляющие собой комплекс приборов и
аппаратов, которые вырабатывают электрическую энергию и преобразуют её к виду,
необходимому для нормальной работы каждого узла электронной аппаратуры.
В
настоящее время с ...