Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.
Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с
в точках x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h:
Проинтегрируем :
Формула:
называется формулой Симпсона.
Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью
, прямыми
,
и параболой, проходящей через точки
Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке
существуют непрерывные производные f ʹ, f ʹʹ, f ʹʹʹ, f ʹʹʹʹ.
Составим разность:
К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на
и функция
неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:
(воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция;
).
Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для
другое выражение:
, где
Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона в виде:
,
.
Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на
равных частей (полагая
), после чего к каждой паре соседних отрезков
,
, .,
применяют формулу Симпсона.
Формула Симпсона в общем виде:
Самое читаемое:
Непрерывный и квантованный объекты управления в пространстве состояний
1. Задана линейная стационарная дискретная система (параметры
непрерывных динамических звеньев в таблице 1 Приложения 2).
и .
Рисунок 1. Структурная схема линейной стационарной дискретной системы
. Составить описание непрерывного объекта управления в пространстве
состояний.
. Выбрать период дискретности и ...