Разделы сайта

Метод Гаусса с выбором главного элемента

Метод исключения Гаусса состоит из двух основных этапов:

1) прямой ход - основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это осуществляется последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. 2) обратный ход - с помощью найденной треугольной матрицы последователь но вычисляем искомые неизвестные. Рассмотрим применение метода Гаусса для системы 3-го порядка (прямой ход):

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (1)

а21х1+а22х2+а23х3=b2, (2)

а31х1+а32х2+а33х3=b3. (3)

Домножим уравнение (1) на ( - а21/а11 ) и прибавим его к уравнению (2). Затем, умножив уравнение (1) на ( - а31/а11 ) и прибавив результат к уравнению (3), получим равносильную систему уравнений вида

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (4) а¢22х2+а¢23х3=b¢2, (5)

а¢32х2+а¢33х3=b¢3, (6)

где

а¢22 = а22 - (а21/а11)* а12; ¢2 = b2 - (а21/а11)* b1;

а¢23 = а23 - (а21/а11)* а13; ¢3 = b3 - (а31/а11)* b1;

а¢32 = а32 - (а31/а11)* а12;

а¢33 = а33 - (а31/а11)* а13;

Домножим уравнение (5) на ( - а32/а22 ) и складываем его с уравнением (6)

а11х1+а12х2+а13х3=b1, (7) а¢22х2+а¢23х3=b¢2, (8) а²33х3=b²3, (9)

где а²33 = а¢33 - (а¢32/а¢22)* а¢23;²3 = b¢3 - (а¢32/а¢22)* b¢2;

Мы привели матрицу системы к треугольному виду. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения (9) уравнения системы:

х3 = b²3/a²33;

Используя это значение, можно найти х2 из (8) уравнения, а затем х1 из (7):

х2 = 1/a22*(b2 - a23x3), х1 = 1/a11*(b1 - a12x2 - a13x3);

Метод Гаусса с выбором главного элемента заключается в том, что перед началом исключения переменных необходимо привести матрицу к такому виду, чтобы максимальный элемент столбца попадал на главную диагональ. Эту процедуру необходимо выполнять на каждом шаге.

Самое читаемое:

Диагностика и ремонт СВ-передатчика
Провести ремонт радиоэлектронного изделия, значит восстановить его работоспособность. Чтобы провести ремонт необходимо определить является ли изделие ремонтопригодным. При ремонте узлы изделия могут быть заменены полностью или частично. После проведения замены элементов в ремонтируемом изделии необходимо провести регулировки и наст ...